Question

5．已知数列{a_n}满足a₁=3，$\sqrt{{a_{n+1}}+1}-\sqrt{{a_n}+1}=1，n∈{N^*}$．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₂$\frac{{{n^2}+n}}{a_n}$，数列{b_n}的前n项和为S_n，求使S_n＜-4的最小自然数n．

Answer 1

分析 （1）由数列{$\sqrt{{a}_{n}+1}$}是以2为首项，1为公差的等差数列，$\sqrt{{a}_{n}+1}$=2+n-1=n+1，即可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）由（1）可知b_n=log₂$\frac{{{n^2}+n}}{a_n}$=log₂$\frac{n+1}{n+2}$=log₂（n+1）-log₂（n+2），求得S_n=b₁+b₂+…+b_n=1-log₂（n+2），由S_n＜-4，利用对数的运算性质，即可求得最小自然数n的值．

解答 解：（1）由$\sqrt{{a_{n+1}}+1}-\sqrt{{a_n}+1}=1，n∈{N^*}$，
则数列{$\sqrt{{a}_{n}+1}$}是以2为首项，1为公差的等差数列，
∴$\sqrt{{a}_{n}+1}$=2+n-1=n+1，
∴a_n=n²+2n，
数列{a_n}的通项公式a_n=n²+2n；
（2）b_n=log₂$\frac{{{n^2}+n}}{a_n}$=log₂$\frac{{n}^{2}+n}{{n}^{2}+2n}$=log₂$\frac{n+1}{n+2}$=log₂（n+1）-log₂（n+2），
数列{b_n}的前n项和为S_n，S_n=b₁+b₂+…+b_n=log₂2-log₂3+log₂3-log₂4+…+log₂（n+1）-log₂（n+2），
=1-log₂（n+2），
由S_n＜-4，1-log₂（n+2）＜-4，
log₂（n+2）＞5=log₂32，
∴n+2＞32，解得：n＞30，
满足S_n＜-4的最小自然数n为31．

点评 本题考查等差数列的性质，等差数列通项公式，对数的运算性质，考查计算能力，属于中档题．