Question

20．已知定义在R上的函数f（x）=|x-m|+|x|，m∈N^*，若存在实数x使得f（x）＜2成立．
（1）求实数m的值；
（2）若α，β＞1，f（α）+f（β）=6，求证：$\frac{4}{α}+\frac{1}{β}≥\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 （1）|x-m|+|x|≥|x-m-x|=|m|，要使|x-m|+|x|＜2有解，则|m|＜2，m∈N^*，解得m；
（2）α，β＞1，f（α）+f（β）=2α-1+2β-1=6，可得α+β=4．再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）∵|x-m|+|x|≥|x-m-x|=|m|，
∴要使|x-m|+|x|＜2有解，则|m|＜2，解得-2＜m＜2．
∵m∈N^*，∴m=1．
（2）证明：α，β＞1，f（α）+f（β）=2α-1+2β-1=6，
∴α+β=4，
∴$\frac{4}{α}$+$\frac{1}{β}$≥$\frac{1}{4}$（$\frac{4}{α}$+$\frac{1}{β}$）（α+β）
=$\frac{1}{4}$（5+$\frac{4β}{α}$+$\frac{α}{β}$）≥$\frac{1}{4}$（5+2$\sqrt{\frac{4β}{α}•\frac{α}{β}}$=$\frac{9}{4}$，
当且仅当$\frac{4β}{α}$=$\frac{α}{β}$即α=$\frac{8}{3}$，β=$\frac{4}{3}$时“=”成立，
故$\frac{4}{α}$+$\frac{1}{β}$≥$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查了绝对值不等式的性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．