Question

已知函数y=log_a（x-1）+3（a＞0，a≠1）所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{a_n}的第二项与第三项，若b_n=

1

an-an+1

，数列{b_n}的前n项和为T_n，则T₁₀=（　　）

• A、

  9

  11

• B、

  10

  11

• C、1
• D、

  12

  11

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：由函数的解析式求得定点的坐标为（2，3），可得等差数列{a_n}的公差d=1，通项公式为a_n=n，求得数列{b_n}的通项公式为b_n=

1

n

-

1

n+1

，由此求得数列{b_n}的前n项和．

解答： 解：函数y=log_a（x-1）+3（a＞0，a≠1）所过定点的坐标为（2，3），
由题意可得 a₃=3，a₂=2，故等差数列{a_n}的公差d=1，通项公式为a_n=n．
故b_n=

1

an•an+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
故 T₁₀=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

10

-

1

11

=

10

11

．
故选B．

点评：本题主要考查对数函数的图象过定点问题，等差数列的通项公式，用裂项法求数列的前n项和，属于中档题．