Question

14．计算：$\underset{lim}{n→∞}$（$\frac{{n}^{3}-1}{3{n}^{2}+n}$-$\frac{{n}^{2}+1}{3n+4}$）=$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 化简$\frac{{n}^{3}-1}{3{n}^{2}+n}$-$\frac{{n}^{2}+1}{3n+4}$=$\frac{3{n}^{3}-3{n}^{2}-4n-4}{9{n}^{3}+15{n}^{2}+4n}$，从而求极限即可．

解答 解：$\frac{{n}^{3}-1}{3{n}^{2}+n}$-$\frac{{n}^{2}+1}{3n+4}$
=$\frac{（{n}^{3}-1）（3n+4）-（3{n}^{2}+n）（{n}^{2}+1）}{9{n}^{3}+15{n}^{2}+4n}$
=$\frac{3{n}^{3}-3{n}^{2}-4n-4}{9{n}^{3}+15{n}^{2}+4n}$，
故$\underset{lim}{n→∞}$（$\frac{{n}^{3}-1}{3{n}^{2}+n}$-$\frac{{n}^{2}+1}{3n+4}$）
=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{3{n}^{3}-3{n}^{2}-4n-4}{9{n}^{3}+15{n}^{2}+4n}$
=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{3-\frac{3}{n}-\frac{4}{{n}^{2}}-\frac{4}{{n}^{3}}}{9+\frac{15}{n}+\frac{4}{{n}^{2}}}$
=$\frac{1}{3}$；
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了分式的化简与极限的求法应用．