Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）若，求曲线在处的切线方程；

（Ⅱ）若，求证：；

（Ⅲ）当时，若关于的不等式的解集为，且，，求的取值范围（用表示）.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）当时，的取值范围是，当时，的取值范围是.

【解析】

（Ⅰ）求导求斜率，求函数值，利用点斜式求出切线方程；

（Ⅱ）当时，，设，求导得函数的单调性与最值，得，即，分析整理即可得出证明；

（Ⅲ）由题意，在上有两个不相等的实数根，，令得或；分类讨论得函数的单调性，进而得出结论．

（Ⅰ）解：，

当时，，，

所以曲线在点处的切线方程为，即；

（Ⅱ）证明：当时，，设，所以，

，随变化情况如下：

		0
		0
	递减	0	递增

由此可知对于，，即，

因此，整理得，即；

（Ⅲ）由题意可知，即方程在上有两个不相等的实数根，，

令.得或；

当即时，在上.所以是上的增函数，

所以方程在上不可能有两个不相等的实数根；

当即时，在上，在上，

所以在上是增函数，在上是减函数，

所以，

又因为，当时，，

（ⅰ）当即时，所以要使方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是；

（ⅱ）当即时，所以要使方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是；

综上所述，当时，的取值范围是；当时，的取值范围是．