Question

【题目】P是圆上的动点，P点在x轴上的射影是D，点M满足．

（1）求动点M的轨迹C的方程，并说明轨迹是什么图形；

（2）过点的直线l与动点M的轨迹C交于不同的两点A，B，求以OA，OB为邻边的平行四边形OAEB的顶点E的轨迹方程．

Answer 1

【答案】（1）点M的轨迹C的方程为，轨迹C是以，为焦点，长轴长为4的椭圆（2）

【解析】

（1）设，根据可求得，代入圆的方程可得所求轨迹方程；根据轨迹方程可知轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆；

（2）设，与椭圆方程联立，利用求得；利用韦达定理表示出与，根据平行四边形和向量的坐标运算求得，消去后得到轨迹方程；根据求得的取值范围，进而得到最终结果.

（1）设，则

由知：

点在圆上

点的轨迹的方程为：

轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆

（2）设，由题意知的斜率存在

设，代入得：

则，解得：

设，，则

四边形为平行四边形

又 ∴，消去得：

顶点的轨迹方程为