Question

6．已知函数f（x）=$\sqrt{3}sin（ωx+φ）（ω＞0，-\frac{π}{2}≤φ＜\frac{π}{2}）$的图象关于直线x=$\frac{π}{3}$对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若$f（\frac{α}{2}）=\frac{{4\sqrt{3}}}{5}（\frac{π}{6}＜α＜\frac{2π}{3}）$，求sinα的值．

Answer 1

分析 （1）由周期求出ω，由图象的对称轴求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）利用同角三角的基本关系求得sin（α-$\frac{π}{6}$）的值，再利用两角和差的正弦公式求得$sinα=sin[{（α-\frac{π}{6}）+\frac{π}{6}}]$ 的值．

解答 解：（1）因f（x）的图象上相邻两个最高点的距离为π，
所以f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}$=π，从而$ω=\frac{2π}{T}=2$，
又因为f（x）的图象关于直线$x=\frac{π}{3}$对称，所以$2×\frac{π}{3}+φ=kπ+\frac{π}{2}（k∈Z）$．
因为$-\frac{π}{2}≤φ＜\frac{π}{2}$，所以k=0，得$φ=-\frac{π}{6}$，∴$f（x）=\sqrt{3}sin（2x-\frac{π}{6}）$．
（2）由（1）得$f（\frac{α}{2}）=\sqrt{3}sin（2•\frac{α}{2}-\frac{π}{6}）=\frac{{4\sqrt{3}}}{5}$，所以$sin（α-\frac{π}{6}）=\frac{4}{5}$，
由$\frac{π}{6}＜α＜\frac{2π}{3}$，得$0＜α-\frac{π}{6}＜\frac{π}{2}$，∴$cos（α-\frac{π}{6}）=\sqrt{1-{{sin}^2}（α-\frac{π}{6}）}=\frac{3}{5}$，
因此$sinα=sin[{（α-\frac{π}{6}）+\frac{π}{6}}]$=$sin（α-\frac{π}{6}）cos\frac{π}{6}+cos（α-\frac{π}{6}）sin\frac{π}{6}$=$\frac{4}{5}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}+\frac{3}{5}×\frac{1}{2}=\frac{{4\sqrt{3}+3}}{10}$．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由图象的对称轴求出φ的值．还考查了，同角三角的基本关系，两角和差的正弦公式属于基础题．