题目内容
2．
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=5，BB1=BC=6，D，E分别是AA1和B1C的中点．（1）求证：DE⊥BC；
（2）求三棱锥E-BCD的体积．
分析 （1）取BC中点F，连结EF，AF，由直棱柱的结构特征和中位线定理可得四边形ADEF是平行四边形，故DE∥AF，由等腰三角形的性质可得AF⊥BC，故DE⊥BC；
（2）把△BCE看做棱锥的底面，则DE为棱锥的高，求出棱锥的底面积和高，代入体积公式即可求出．
解答 证明：（1）取BC中点F，连结EF，AF，则EF△BCB1的中位线，∴EF∥BB1，EF=$\frac{1}{2}$BB1，
∵AD∥BB1，AD=$\frac{1}{2}$BB1，∴EF∥AD，EF=AD，∴四边形ADEF是平行四边形，∴DE∥AF，
∵AB=AC，F是BC的中点，∴AF⊥BC，∴DE⊥BC．
（2）∵BB1⊥平面ABC，AF?平面ABC，∴BB1⊥AF，
又∵AF⊥BC，BC?平面BCC1B1，BB1?平面BCC1B1，BC∩BB1=B，
∴AF⊥平面BCC1B1，∴DE⊥平面BCC1B1，
∵AC=5，BC=6，∴CF=$\frac{1}{2}BC$=3，∴AF=$\sqrt{A{C}^{2}-C{F}^{2}}$=4，∴DE=AF=4
∵BC=BB1=6，∴S△BCE=$\frac{1}{4}B{C}^{2}$=9．
∴三棱锥E-BCD的体积V=$\frac{1}{3}$S△BCE•DE=$\frac{1}{3}×9×4$=12．
点评 本题考查了线面垂直的性质与判定，棱锥的体积计算，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
13．
某几何体的三视图如图所示，其中俯视图与侧视图是半径均为$\sqrt{2}$的圆，则该几何体的表面积是（ ）
某几何体的三视图如图所示，其中俯视图与侧视图是半径均为$\sqrt{2}$的圆，则该几何体的表面积是（ ）| A． | 14π | B． | 12π | C． | 10π | D． | 8π |
如图，已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且∠BCD=∠BCE=$\frac{π}{2}$，平面ABCD丄平面BCEG，BC=CD=CE=2AD=2BG=2．
17．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
| A． | 2π-$\frac{2}{3}$ | B． | 2π-$\frac{4}{3}$ | C． | $\frac{5π}{3}$ | D． | 2π-2 |
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=BC=1，PA⊥平面ABCD，CD⊥PC，PD=2PA．