Question

已知g（x²+1）=x⁴+x²-6，那么g（x²+1）的最小值为（　　）

• A．g（0）
• B．g（1）-

  1

  4

• C．g（1）+

  1

  4

• D．g（1）

Answer 1

分析：先利用换元法求函数g（x）的解析式，发现g（x）是关于x的一元二次函数，再用配方法求函数最小值即可．

解答：解：由题意知
 令x²+1=t（t≥1），即x²=t-1
∴g（t）=（t-1）²+（t-1）-6=t²-t-6
=(t-

1

2

)2-

25

4

∴g（t）在[

1

2

，+∞)上单调递增函数，
 又∵t=x²+1 即t≥1
∴g（t）在[1，+∞）也是单调递增函数
 即g（x²+1）=g（t）的最小值为g（1）．
 故选D

点评：本题主要考查利用换元法求函数解析式的方法，属于中档题型．