Question

已知等差数列{a_n}满足a₃=5，a₅-2a₂=3，又等比数列{b_n}中，b₁=3且公比q=3．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若c_n=a_n+b_n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用等差数列的通项公式由已知条件求出首项和公比，由此能求出等差数列{a_n}的通项公式；由数列{b_n}是以b₁=3为首项，公比为3的等比数列，能求出{b_n}的通项公式．
（Ⅱ）由cn=(2n-1)+3n，利用分组求和法能求出数列{c_n}的前n项和S_n．

解答： 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，
则由题设得

a1+2d=5 a1+4d=2(a1+d)=3

，
解得a₁=1，d=2，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1，
∵数列{b_n}是以b₁=3为首项，公比为3的等比数列，
∴bn=3×3n-1=3n．
（Ⅱ）∵c_n=a_n+b_n，∴cn=(2n-1)+3n，
∴S_n=1+3+5+7+…+（2n-1）+（3+3²+3³+…+3ⁿ）
=

n(1+2n-1)

2

+

3(1-3n)

1-3

=n2+

3

2

(3n-1)．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．