Question

若数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意正整数n都有6S_n=1-2a_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若c₁=0，且对任意正整数n都有c_n+1-c_n=log 

1

2

a_n，求证：对任意n≥2，n∈N^*都有

1

c2

+

1

c3

+…+

1

cn

＜

3

4

．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）令n=1可求a1=

1

8

，当n≥2时，由6S_n=1-2a_n，得6S_n-1=1-2a_n-1，两式相减可得递推式，由此可判断{a_n}是等比数列，可求a_n；
（2）易得c_n+1-c_n=log 

1

2

a_n=2n+1，利用累加法可求得c_n，进而可得

1

cn

=

1

(n-1)(n+1)

=

1

2

(

1

n-1

-

1

n+1

)，利用裂项相消法可求得

1

c2

+

1

c3

+…+

1

cn

，进而可得结论；

解答： 解：（1）当n=1时，6S₁=1-2a₁．解得a1=

1

8

；
当n≥2时，6S_n=1-2a_n①，6S_n-1=1-2a_n-1②，
①-②，化简得

an

an-1

=

1

4

，
∴{a_n}是首项为

1

8

，公比为

1

4

的等比数列，
∴an=

1

8

•(

1

4

)n-1=(

1

2

)2n+1．
（2）∵c_n+1-c_n=log 

1

2

a_n=2n+1，
∴当n≥2时，c_n=（c_n-c_n-1）+（c_n-1-c_n-2）+…+（c₂-c₁）+c₁=（2n-1）+（2n-3）+…+3+0=n²-1，
∴

1

cn

=

1

(n-1)(n+1)

=

1

2

(

1

n-1

-

1

n+1

)，
∴

1

c2

+

1

c3

+…+

1

cn

=

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n-2

-

1

n

+

1

n-1

-

1

n+1

)=

1

2

(1+

1

2

-

1

n

-

1

n+1

)=

3

4

-

1

2

(

1

n

+

1

n+1

)＜

3

4

．

点评：该题考查由递推式求数列通项、等比数列的通项公式、数列求和，考查学生的运算求解能力，裂项相消法对数列求和是高考考查的重点内容，要熟练掌握．