Question

已知正项数列{a_n}，a₁=1，a_n=a_n+1²+2a_n+1
（Ⅰ）求证：数列{log₂（a_n+1）}为等比数列：
（Ⅱ）设b_n=n1og₂（a_n+1），数列{b_n}的前n项和为S_n，求证：1≤S_n＜4．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）根据数列的递推关系结合等比数列的定义即可证明数列{log₂（a_n+1）}为等比数列：
（Ⅱ）求出b_n=n1og₂（a_n+1）的表达式，利用错位相减法即可求出数列{b_n}的前n项和为S_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵a_n=a_n+1²+2a_n+1，
∴a_n+1=（a_n+1+1）²，
∵a_n＞0，
∴2log₂（a_n+1+1）=log₂（a_n+1），
即log₂（a_n+1+1）=

1

2

log₂（a_n+1），
即数列{log₂（a_n+1）}是1为首项，

1

2

为公比的等比数列：
（Ⅱ）∵数列{log₂（a_n+1）}是1为首项，

1

2

为公比的等比数列：
∴log₂（a_n+1）=(

1

2

)n-1，
设b_n=n1og₂（a_n+1）=n•(

1

2

)n-1，
则数列{b_n}的前n项和为S_n=1+

2

2

+

3

22

+…+

n-1

2n-2

+

n

2n-1

，

1

2

S_n=

1

2

+

2

22

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

．
两式相减得

1

2

S_n=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=2[1-（

1

2

）ⁿ]-

n

2n

，
∴S_n=4-

n+2

2n+1

＜4．
∵b_n=n•(

1

2

)n-1＞0，
∴S_n≥S₁=1，
∴1≤S_n＜4．

点评：本题主要考查等比数列数列的判断，以及数列求解，利用错位相减法是解决本题的关键．