Question

4．△ABC的三边a，b，c对应的三个角分别为A，B，C．
①若acosA=bcosB，则△ABC为等腰或直角三角形；
②若acosB=bcosA，则△ABC为等腰三角形；
③若a=bcosC，则△ABC为直角三角形．

Answer 1

分析 ①若acosA=bcosB，利用正弦定理可得：sinAcosA=sinBcosB，于是sin2A=sin2B，即可得出；
②若acosB=bcosA，利用正弦定理可得sinAcosB=sinBcosA，可得tanA=tanB，即可得出．
③若a=bcosC，利用余弦定理a=b$•\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，化为：a²+c²=b²，即可判断出结论．

解答 解：①若acosA=bcosB，则sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B，A，B∈（0，π），∴2A=2B或2A+2B=π，∴A=B，或A+B=$\frac{π}{2}$．
△ABC为等腰或直角三角形；
②若acosB=bcosA，则sinAcosB=sinBcosA，∴tanA=tanB，A，B∈（0，π），∴A=B．则△ABC为等腰三角形．
③若a=bcosC，则a=b$•\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，化为：a²+c²=b²，∴B=RT∠，则△ABC为直角三角形．
故答案分别为：等腰或直角；等腰；直角．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、三角函数诱导公式及其性质、倍角公式、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．