Question

如图，在空间几何体AB-CDEF中，底面CDEF为矩形，DE=1，CD=2，AD⊥底面CDEF，AD=1，平面BEF⊥底面CDEF，且BE=BF=

2

．
（Ⅰ）求平面ABE与平面ABF所成的锐二面角的余弦值；
（Ⅱ）已知点M，N分别在线段DF，BC上，且DM=λDF，CN=μCB．若MN⊥平面BCF，求λ，μ的值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）分别以DE，DC，DA为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面ABE与平面ABF所成的锐二面角的余弦值．
（Ⅱ）由

DM

=λ

DF

，得M（λ，2λ，0），由

CN

=μ

CB

，得N（μ，2-μ，μ）．由此利用向量法能求出λ=μ=

1

2

．

解答： （本小题满分14分）
解：（Ⅰ）如图，分别以DE，DC，DA为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系．
则有A（0，0，1），D（0，0，0），E（1，0，0），F（1，2，0），C（0，2，0）．
又平面BEF⊥底面CDEF，则点B的横坐标为1，
由BE=BF=

2

，EF=2，
得点B的纵坐标和竖坐标都为1，即B（1，1，1）．
设平面ABE的法向量为

n

=(x，y，z)，
又

EA

=(-1，0，1)，

EB

=(0，1，1)，
得

-x+z=0 y+z=0

，取z=1，得

n

=(1，-1，1)． 
设平面ABF的法向量为

m

=(x，y，z)，
又

AB

=(1，1，0)，

FB

=(0，-1，1)，
得

x+y=0 -y+z=0

，取y=-1，得

m

=(1，-1，-1)．
由cos＜

n

，

m

＞=

n • m

| n |×| m |

=

1

3

，
得平面ABE与平面ABF所成的锐二面角的余弦值为

1

3

．…．（7分）
（Ⅱ）由

DM

=λ

DF

，得M（λ，2λ，0），
同理由

CN

=μ

CB

，得N（μ，2-μ，μ）．
则

NM

=(λ-μ，2λ+μ-2，-μ)，
由

NM • CF =0 NM • CB =0

，
得λ=μ=

1

2

．…..（14分）

点评：本题考查平面ABE与平面ABF所成的锐二面角的余弦值的求法，考查λ，μ的值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．