Question

15．已知圆O：x²+y²=10，过点P（-3，-4）的直线l与圆O相交于A，B两点，若△AOB的面积为5，则直线l的斜率为$\frac{1}{2}$或$\frac{11}{2}$．

Answer 1

分析 利用△AOB的面积为5，得出OA⊥OB，设出直线方程，利用圆心到直线的距离d=$\frac{|3k-4|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=\frac{\sqrt{2}}{2}•\sqrt{10}$，求出直线的斜率．

解答 解：圆O：x²+y²=10的圆心坐标为O（0，0），半径为$\sqrt{10}$，
∵△AOB的面积为5，
∴$\frac{1}{2}×\sqrt{10}×\sqrt{10}×sin∠AOB$=5，
∴sin∠AOB=1，
∴∠AOB=90°，
∴OA⊥OB．
设过点P（-3，-4）的直线l的方程为y+4=k（x+3），即kx-y+3k-4=0，
圆心到直线的距离d=$\frac{|3k-4|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=\frac{\sqrt{2}}{2}•\sqrt{10}$，
∴k=$\frac{1}{2}$或$\frac{11}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$或$\frac{11}{2}$．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．