Question

3．函数f（x）=$\frac{{e}^{x}+m}{{e}^{x}+1}$，（m为常数），若对于任意实数a，b，c，总有f（a）+f（b）＞f（c）恒成立，则实数m的取值范围为[$\frac{1}{2}$，2]．

Answer 1

分析 通过讨论m的范围，得到$\frac{m-1}{{e}^{x}+1}$的范围，结合题意求出m的范围即可．

解答 解：∵函数f（x）=$\frac{{e}^{x}+m}{{e}^{x}+1}$，
∴函数f（x）=1+$\frac{m-1}{{e}^{x}+1}$，
∵e^x+1＞1，
∴0＜$\frac{1}{{e}^{x}+1}$＜1，
①当m=1时，f（x）=1，
对于任意a，b，c∈R，
都有f（a）+f（b）＞f（c）成立，
②当m＞1时，∵0＜$\frac{m-1}{{e}^{x}+1}$＜m-1，
∴1＜1+$\frac{m-1}{{e}^{x}+1}$＜m，
∴对于任意a，b，c∈R，
都有f（a）+f（b）＞f（c）成立，
即有只需：2≥m，
∴1＜m≤2，
③当m＜1时，m-1＜$\frac{m-1}{{e}^{x}+1}$＜0，
∴m＜1+$\frac{m-1}{{e}^{x}+1}$＜1，
∴对于任意a，b，c∈R，
都有f（a）+f（b）＞f（c）成立，
即只需2m≥1，$\frac{1}{2}$≤m＜1，
综上所述实数m的取值范围为：[$\frac{1}{2}$，2]，
故答案为：：[$\frac{1}{2}$，2]．

点评 本题考查了转化思想、分类讨论思想思想，是一道中档题．