题目内容

1．已知复数z满足（1-i）z=1+ai，
（1）当a=3时，求复数z的模．
（2）若z为纯虚数，a为何值．

分析 （1）a=3时，（1-i）z=1+3i，利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．
（2）利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．

解答 解：（1）a=3时，（1-i）z=1+3i，∴（1+i）（1-i）z=（1+3i）（1+i），∴2z=-2+4i，z=-1+2i，
∴|z|=$\sqrt{5}$．
（2）∵（1-i）z=1+ai，∴（1+i）（1-i）z=（1+ai）（1+i），化为：2z=（1-a）+（a+1）i，∴z=$\frac{1-a}{2}$+$\frac{1+a}{2}$i，
∵z为纯虚数，∴$\frac{1-a}{2}$=0，$\frac{1+a}{2}$≠0，解得a=1．
∴a=1时，z为纯虚数．

点评 本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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