题目内容
12．设函数 f（x）=（x-a）n，其中n=6$\int_0^{\frac{π}{2}}{cosxdx，\frac{{{f^'}（0）}}{f（0）}}$=-3，则f（x）的展开式的各项系数之和为（ ）| A． | -1 | B． | 1 | C． | 2 | D． | -2 |
分析 先利用定积分求出n的值，再对f（x）求导数，由此求出a的值，利用赋值法求出f（x）展开式的各项系数之和．
解答 解：∵n=6${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$cosxdx=6（sin$\frac{π}{2}$-sin0）=6，
∴f（x）=（x-a）6，
∴f′（x）=6（x-a）5，
∴f′（0）=-6a5，
f（0）=a6，
∴$\frac{f′（0）}{f（0）}$=$\frac{-{6a}^{5}}{{a}^{6}}$=$\frac{-6}{a}$=-3，
解得a=2；
∴f（x）=（x-2）6的展开式的各项系数之和为：
（1-2）6=1．
故选：B．
点评 本题主要考查求定积分，利用赋值法求二项式展开式各项系数和的应用问题，是基础题目．
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