Question

1．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+3，n∈N^*．
（Ⅰ）求证：数列{a_n+3}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{na_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （I）a_n+1=2a_n+3，n∈N^*．变形为a_n+1+3=2（a_n+3），利用等比数列的定义即可证明．
（Ⅱ）由（I）可得a_n=2ⁿ⁺¹-3，因此na_n=n•2ⁿ⁺¹-3n．利用“错位相减法”、等比数列与等差数列的求和公式即可得出．

解答 （I）证明：∵a_n+1=2a_n+3，n∈N^*．∴a_n+1+3=2（a_n+3），
∴数列{a_n+3}是等比数列，公比为2，首项为4．
（Ⅱ）解：由（I）可得：a_n+3=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹，∴a_n=2ⁿ⁺¹-3，
∴na_n=n•2ⁿ⁺¹-3n．
设数列{n•2ⁿ⁺¹}的前n项和为A_n，
则A_n=2²+2×2³+3×2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，
2A_n=2³+2×2⁴+…+（n-1）•2ⁿ⁺¹+n•2ⁿ⁺²，
∴-A_n=2²+2³+…+2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺²=$\frac{4（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n•2ⁿ⁺²=（1-n）•2ⁿ⁺²-4，
∴A_n=（n-1）•2ⁿ⁺²+4，
∴数列{na_n}的前n项和S_n=（n-1）•2ⁿ⁺²+4-$\frac{3n（n+1）}{2}$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等比数列与等差数列的定义通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．