Question

11．已知非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足：|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|且$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}$$-2\overrightarrow{b}$），则向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为60°．

Answer 1

分析 根据题意，设向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角θ，|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=r，（r＞0），由$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}$$-2\overrightarrow{b}$）可得$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）=$\overrightarrow{a}$²-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，结合数量积的计算公式可得r²=2r²cosθ，解可得cosθ的值，结合θ的范围，即可得答案．

解答 解：根据题意，设向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角θ，|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=r，（r＞0）
若$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}$$-2\overrightarrow{b}$），则有$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）=$\overrightarrow{a}$²-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，即有r²=2r²cosθ，
解可得cosθ=$\frac{1}{2}$，
又由0°≤θ≤180°，
则θ=60°，
故答案为：60°．

点评 本题考查向量数量积的计算，关键是掌握向量数量积的计算公式．