题目内容

已知A、B、C、D是球面上四点，若AB=AC= $数学公式$ ，BD=DC=CB=2，二面角A-BC-D的平面角等于150°，则该球的表面积为

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
7π
D.
9π

B
分析：由题设知四面体ABCD中，AB=AC= $\text{[math]}$ ，BD=DC=CB=2，设等边△BDC的外接圆的圆心为E，BC中点为H，球心为O，设球半径为r，则由题设条件能够推导出 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，由此解得y=1，从而求出r，由此能够求出球的表面积．
解答：

解：由题设知四面体ABCD中，AB=AC= $\text{[math]}$ ，BD=DC=CB=2，
如图，设等边△BDC的外接圆的圆心为E，BC中点为H，球心为O，设球半径为r，
则Rt△OEB中，∠OEB=90°，
∵BD=DC=CB=2，AB=AC= $\text{[math]}$ ，
∴∠AHE是二面角A-BC-D的平面角，故∠AHE=150°，
DE= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，HE= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，…①
作AI⊥DH，交DH延长线与I，则AH=1，HE= $\text{[math]}$ ，OA=r，∠AHT=180°-∠AHE=30°，
∴AI= $\text{[math]}$ ，IE=IH+HE= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，…②
由①②得 $\text{[math]}$ ，解得y=1，
∴r= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴球的表面积S=4π $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
故选B．
点评：本题考查球的表面积的求法，具体涉及到锥锥的结构特征、二面角的平面角、余弦定理、三角形性质、球的简单性质等知识点，解题时要认真审题，注意合理地化空间几何问题为平面几何问题．