题目内容
已知A、B、C、D是球面上四点,若AB=AC=
,BD=DC=CB=2,二面角A-BC-D的平面角等于150°,则该球的表面积为( )
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分析:由题设知四面体ABCD中,AB=AC=
,BD=DC=CB=2,设等边△BDC的外接圆的圆心为E,BC中点为H,球心为O,设球半径为r,则由题设条件能够推导出r2=BE2+EO2=
+y2,且r2=
+(
-y)2,由此解得y=1,从而求出r,由此能够求出球的表面积.
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25 |
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解答:解:由题设知四面体ABCD中,AB=AC=
,BD=DC=CB=2,
如图,设等边△BDC的外接圆的圆心为E,BC中点为H,球心为O,设球半径为r,
则Rt△OEB中,∠OEB=90°,
∵BD=DC=CB=2,AB=AC=
,
∴∠AHE是二面角A-BC-D的平面角,故∠AHE=150°,
DE=
DH=
×
=
,HE=
DH=
,
∴r2=BE2+EO2=
+y2,…①
作AI⊥DH,交DH延长线与I,则AH=1,HE=
,OA=r,∠AHT=180°-∠AHE=30°,
∴AI=
,IE=IH+HE=
+
=
,
∴r2=
+(
-y)2,…②
由①②得y2+
=y2-y+
,解得y=1,
∴r=
=
,
∴球的表面积S=4π(
)2=
.
故选B.
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如图,设等边△BDC的外接圆的圆心为E,BC中点为H,球心为O,设球半径为r,
则Rt△OEB中,∠OEB=90°,
∵BD=DC=CB=2,AB=AC=
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∴∠AHE是二面角A-BC-D的平面角,故∠AHE=150°,
DE=
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4-1 |
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1 |
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∴r2=BE2+EO2=
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作AI⊥DH,交DH延长线与I,则AH=1,HE=
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∴AI=
1 |
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5
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6 |
∴r2=
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由①②得y2+
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3 |
∴r=
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3 |
∴球的表面积S=4π(
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28π |
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故选B.
点评:本题考查球的表面积的求法,具体涉及到锥锥的结构特征、二面角的平面角、余弦定理、三角形性质、球的简单性质等知识点,解题时要认真审题,注意合理地化空间几何问题为平面几何问题.
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