题目内容
5．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足$\overrightarrow{OC}$=$\frac{5}{3}$$\overrightarrow{OA}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OB}$．（1）求证：A，B，C三点共线，并求$\frac{|\overrightarrow{AC|}}{|\overrightarrow{BC|}}$的值；
（2）设A（1，sinx），B（1+cosx，2sinx），x∈R，求函数f（x）=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的最大值．
分析 （1）利用向量的三角形法则、向量共线定理即可证明；
（2）利用数量积运算性质、三角函数的单调性、二次函数的单调性即可得出．
解答 （1）证明：∵A，B，C三点满足$\overrightarrow{OC}$=$\frac{5}{3}$$\overrightarrow{OA}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OB}$，∴$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}（\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}）$，
化为$\overrightarrow{AC}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}$，
∴A，B，C三点共线，
∵$\overrightarrow{AC}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}$，
∴$\overrightarrow{AC}$=$\frac{2}{3}$$（\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}）$，
化为$\frac{5}{3}\overrightarrow{AC}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$，
∴$\frac{|\overrightarrow{AC|}}{|\overrightarrow{BC|}}$=$\frac{2}{5}$．
（2）解：f（x）=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=1+cosx+2sin2x
=1+cosx+2（1-cos2x）
=-2$（cosx-\frac{1}{4}）^{2}$+$\frac{25}{8}$≤$\frac{25}{8}$，
当cosx=$\frac{1}{4}$时，f（x）取得最大值$\frac{25}{8}$．
点评 本题考查了向量的三角形法则、向量共线定理、数量积运算性质、三角函数的单调性、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
| A． | 1条 | B． | 2条 | C． | 3条 | D． | 4条 |
| A． | 16 | B． | 18 | C． | 21 | D． | 26 |
| A． | $ω=\frac{1}{2}$，φ=$\frac{π}{4}$ | B． | ω=2，φ=$\frac{π}{4}$ | C． | $ω=\frac{1}{2}$，φ=$\frac{π}{2}$ | D． | ω=2，φ=$\frac{π}{2}$ |
已知向量$\overrightarrow m=（asinx+cosx，1），\overrightarrow n=（cosx，-\frac{1}{2}）$，函数f（x）=$\overrightarrow m•\overrightarrow n$的图象的一条对称轴为直线x=$\frac{π}{6}$．