Question

4．等差数列{a_n}中，a₃+a₄=12，S₇=49．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[2.6]=2．令b_n=[lga_n]，求数列{b_n}的前2000项和．

Answer 1

分析 （I）设等差数列{a_n}的公差为d，由a₃+a₄=12，S₇=49．可得2a₁+5d=12，$7{a}_{1}+\frac{7×6}{2}$d=49，解出即可得出．
（II）b_n=[lga_n]=[lg（2n-1）]，n=1，2，3，4，5时，b_n=0.6≤n≤50时，b_n=1；51≤n≤500时，b_n=2；501≤n≤2000时，b_n=3．即可得出．

解答 解：（I）设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₃+a₄=12，S₇=49．
∴2a₁+5d=12，$7{a}_{1}+\frac{7×6}{2}$d=49，
解得a₁=1，d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（II）b_n=[lga_n]=[lg（2n-1）]，
n=1，2，3，4，5时，b_n=0．
6≤n≤50时，b_n=1；
51≤n≤500时，b_n=2；
501≤n≤2000时，b_n=3．
∴数列{b_n}的前2000项和=45+450×2+1500×3=5445．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、取整函数的性质、数列求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．