Question

16．设a，b，c是互不相等的正数，则下列等式不恒成立的是（　　）

• A． a²+b²+c²＞ab+bc+ca
• B． a-b+$\frac{1}{a-b}$≥2
• C． |a-b|+|b-c|≥|a-c|
• D． $\sqrt{a+3}$-$\sqrt{a+1}$≤$\sqrt{a+2}$-$\sqrt{a}$

Answer 1

分析 A．a，b，c是互不相等的正数，可得（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²＞0，展开化简即可判断出结论；
B．a＜b时，（a-b）+$\frac{1}{a-b}$=-$[（b-a）+\frac{1}{b-a}]$≤-2，即可判断出正误；
C．由绝对值的不等式的性质即可判断出结论；
D．平方作差$（\sqrt{a+1}+\sqrt{a+2}）^{2}$-$（\sqrt{a+3}+\sqrt{a}）^{2}$=2$\sqrt{{a}^{2}+3a+2}$-2$\sqrt{{a}^{2}+3a}$＞0，即可判断出结论．

解答 解：A．∵a，b，c是互不相等的正数，∴（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²＞0，展开化为a²+b²+c²＞ab+bc+ca，因此恒成立；
B．a＜b时，（a-b）+$\frac{1}{a-b}$=-$[（b-a）+\frac{1}{b-a}]$≤-2，因此不恒成立；
C．由绝对值的不等式的性质可得：|a-b|+|b-c|≥|a-b+b-c|=|a-c|，因此恒成立；
D．∵$（\sqrt{a+1}+\sqrt{a+2}）^{2}$-$（\sqrt{a+3}+\sqrt{a}）^{2}$=2$\sqrt{{a}^{2}+3a+2}$-2$\sqrt{{a}^{2}+3a}$＞0，∴$\sqrt{a+1}$+$\sqrt{a+2}$＞$\sqrt{a+3}$+$\sqrt{a}$，因此$\sqrt{a+2}$-$\sqrt{a}$＞$\sqrt{a+3}$-$\sqrt{a+1}$，因此恒成立．
综上可得：只有B不恒成立．
故选：B．

点评 本题考查了基本不等式的性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．