Question

11．已知不等式组$\left\{\begin{array}{l}x+2y-4≤0\\ x-y-1≤0\\ x≥1\end{array}\right.$表示的平面区域为Ω，若在Ω中存在一点P（x，y）使得-2≤ax-y≤3成立，则实数a的取值范围是-2≤a≤$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用参数分离法将不等式-2≤ax-y≤3转化为$\frac{y-2}{x}$≤a≤$\frac{y+3}{x}$，利用直线的斜率公式结合数形结合进行求解即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：
则B（1，0），A（1，$\frac{3}{2}$）
则x≥1，
则不等式-2≤ax-y≤3等价为y-2≤ax≤y+3，即$\frac{y-2}{x}$≤a≤$\frac{y+3}{x}$，
设z=$\frac{y-2}{x}$，则z的几何意义是区域内的点到点E（0，2）的斜率，
则EB的斜率z=$\frac{0-2}{1}$=-2，
EC的斜率z=-$\frac{1}{2}$，此时-2≤z≤$-\frac{1}{2}$．
设m=$\frac{y+3}{x}$，则m的几何意义是区域内的点到点F（-3，0）的斜率，
则FA的斜率m=$\frac{\frac{3}{2}+3}{1}$=$\frac{9}{2}$，
FB的斜率m=0，此时0≤m≤$\frac{9}{2}$，
若在Ω中存在一点P（x，y）使得-2≤ax-y≤3成立，
则-2≤a≤$\frac{9}{2}$，
故答案为：-2≤a≤$\frac{9}{2}$．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用参数分离法将不等式进行转化，构造分式结合直线的斜率公式利用数形结合进行求解是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．