Question

8．Rt△ABC中，∠C为直角，CD为斜边上的高h，角A、B、C的对边分别为a，b，c，与Rt△ABC相对应的是直角三棱锥P-ABC，即在顶点P处构成3个直二面角．三条侧棱长分别为PA=a，PB=b，PC=c，高PO=h，四面体P-ABC的面△PAB，△PAC，△PBC的面积分别为s₁，s₂，s₃，底面△ABC的面积为s．
（1）在直角三角形ABC中有结论$\frac{1}{h^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}$，由此猜想四面体P-ABC中的结论：$\frac{1}{h^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}$；
在直角三角形ABC中有勾股定理c²=a²+b²，类比直角三角形的勾股定理，猜想，在四面体P-ABC中有：$s_1^2+s_2^2+s_3^2={s^2}$成立．
（2）上述猜想都是正确的吗？试证明第二个猜想．

Answer 1

分析 立体几何中的类比推理主要是基本元素之间的类比：平面?空间，点?点或直线，直线?直线或平面，平面图形?平面图形或立体图形，故本题由平面上的直角三角形中的边与高的关系式类比立体中两两垂直的棱的三棱锥中边与高的关系即可．

解答 解：（1）$\frac{1}{h^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}$；
（2）$s_1^2+s_2^2+s_3^2={s^2}$．
证明如下：如图作PO垂直底面△ABC于O点，连接AO并延长交BC于D，连接PD，易证AD⊥BC，PD⊥BC，在Rt△PAD中，由射影定理得PD²=OD•AD，

${S^2}_{△PBC}={（\frac{1}{2}BC•PD）^2}=\frac{1}{4}B{C^2}•P{D^2}=\frac{1}{4}B{C^2}•OD•AD$
=$（\frac{1}{2}BC•OD）（\frac{1}{2}BC•AD）={S_{△ABC}}•{S_{△OBC}}$
同理可证：S²_△PBA=S_△ABC•S_△OBA，S²_△PCA=S_△ABC•S_△OCA
所以：S²_△PBA+S²_△PCA+S²_△PBC=S_△ABC（•S_△OBC+S_△OAB+S_△OAC）=S²_△ABC
即：$s_1^2+s_2^2+s_3^2={s^2}$；猜想成立．
故答案为：$\frac{1}{h^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}$；$s_1^2+s_2^2+s_3^2={s^2}$．

点评 类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．其思维过程大致是：观察、比较 联想、类推 猜测新的结论．