Question

【题目】如图，在三棱柱 中， 底面 ，且 为等边三角形， ， 为 的中点.

（1）求证：直线 平面 ；
（2）求证：平面 平面 ；
（3）求三棱锥 的体积.

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图所示

连接 交 于 ，连接

因为四边形 是平行四边形，

所以 为 的中点，

又因为 为 的中点，

所以 为 的中位线，

所以

又 平面 平面 ，

所以 平面 .

（2）证明：因为 是等边三角形， 为 的中点，

所以

又因为 底面

所以

根所线面垂直的判定定理得 平面

又因为 平面

所以平面 平面 ；

（3）解：由（2）知， 中，

【解析】(1)由题意构造平面BC1D内的直线，再证明直线AB1与这条直线平行。(2)根据线面垂直的判定定理即可得证。(3)根据题意利用等体积法即可求出体积。
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面垂直的判定的相关知识，掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．