题目内容

设点M（x，y）到直线x＝4的距离与它到定点（1，0）的距离之比为2，并记点M的轨迹曲线为C．

　 （Ⅰ）求曲线C的方程；

（Ⅱ）设过定点（0，2）的直线l与曲线C交于不同的两点E，F，且∠EOF＝90°（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的值；

　 （Ⅲ）设A（2，0），B（0，）是曲线C的两个顶点，直线y＝mx（m>0）与线段AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点．求四边形AEBF面积的最大值。

解:(Ⅰ)设曲线上的任意一点

则有化简得: …………………………4分

(Ⅱ)设直线的方程为,与椭圆的交点

或

,……………………………………6分

因为与椭圆交于不同的两点且=90得

,

 

解得:(满足或)……………………………………8分

(Ⅲ) 解方程组得;

即,

………………………10分

因为所以(当且仅当时取等号)

即的最大面积为(当时取等号) …………………………12分

练习册系列答案
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设点M（x，y）到直线x=4的距离与它到定点（1，0）的距离之比为2，并记点M的轨迹曲线为C．
（I）求曲线C的方程；
（II）设过定点（0，2）的直线l与曲线C交于不同的两点E，F，且∠EOF=90°（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的值；
（III）设A（2，0），B（0，
3
）是曲线C的两个顶点，直线y=mx（x＞0）与线段AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点，求四边形AEBF面积的最大值．
（2011•许昌一模）设点M（x，y）到直线x=4的距离与它到定点（2，0）的距离之比为
2
，并记点M的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）过点（2，0）作直线l与曲线C相交于A、B两点，问C上是否存在点P，使得
OP
=
OA
+
OB
成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
（2013•济宁二模）设点P（x，y）到直线x=2的距离与它到定点（1，0）的距离之比为
2
，并记点P的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设M（-2，0）的，过点M的直线l与曲线C相交于E，F两点，当线段EF的中点落在由四点C1（-1，0），C2（1，0），B1（0，-1），B2（0，1）构成的四边形内（不包括边界）时，求直线l斜率的取值范围．
设点M（x，y）到直线x=4的距离与它到定点（2，0）的距离之比为，并记点M的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）过点（2，0）作直线l与曲线C相交于A、B两点，问C上是否存在点P，使得=+成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
设点M（x，y）到直线x=4的距离与它到定点（1，0）的距离之比为2，并记点M的轨迹曲线为C．
（I）求曲线C的方程；
（II）设过定点（0，2）的直线l与曲线C交于不同的两点E，F，且∠EOF=90°（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的值；
（III）设A（2，0），B（0，）是曲线C的两个顶点，直线y=mx（x＞0）与线段AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点，求四边形AEBF面积的最大值．

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