Question

设点M（x，y）到直线x=4的距离与它到定点（1，0）的距离之比为2，并记点M的轨迹曲线为C．
（I）求曲线C的方程；
（II）设过定点（0，2）的直线l与曲线C交于不同的两点E，F，且∠EOF=90°（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的值；
（III）设A（2，0），B（0，）是曲线C的两个顶点，直线y=mx（x＞0）与线段AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点，求四边形AEBF面积的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设曲线C上的任意一点P（x，y），则有，由此能求出曲线C的方程．
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+2，与椭圆的交点E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），由，得（3+4k²）x²+16kx+4=0，再由根的判别式和l与椭圆交于不同的两点E，F且∠EOF=90°，得，由此能够求出直线l的斜率k的值．
（Ⅲ）解方程组得，，S_{四边形AEBF}=2S_△BOE+2S_△FOA=|BO|•x₁+|AO|•y₁，由此能还应出S_{四边形AEBF}的最大面积．
解答：解：（Ⅰ）设曲线C上的任意一点P（x，y）
则有化简得：（4分）
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+2，与椭圆的交点E（x₁，y₁），F（x₂，y₂）⇒（3+4k²）x²+16kx+4=0△=（16k）²-16（3+4k²）＞0⇒或，（6分）
因为l与椭圆交于不同的两点E，F且∠EOF=90°得，x₁x₂+y₁y₂=0x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）=0（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=0
解得：（满足或）（8分）
（Ⅲ）解方程组得；
即，S_{四边形AEBF}=2S_△BOE+2S_△FOA=|BO|•x₁+|AO|•y₁（10分）====
因为所以（当且仅当时取等号）
即S_{四边形AEBF}的最大面积为（当时取等号）（12分）
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．