Question

（2011•许昌一模）设点M（x，y）到直线x=4的距离与它到定点（2，0）的距离之比为

2

，并记点M的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）过点（2，0）作直线l与曲线C相交于A、B两点，问C上是否存在点P，使得

OP

=

OA

+

OB

成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意利用两点间的距离公式可得：

|x-4|

(x-2)2+y2

=

2

，整理即可．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由题意知l的斜率一定不为0，故不妨设l：x=my+2．代入C的方程并整理得到根与系数的关系；假设存在点P，使

OP

=

OA

+

OB

成立?点P的坐标（x₁+x₂，y₁+y₂）满足椭圆的方程．又A、B在椭圆上，即满足椭圆的方程．可得x₁x₂+2y₁y₂+4=0，代入解得m，即可得到点P的坐标．

解答：解：（Ⅰ）由题意可得：

|x-4|

(x-2)2+y2

=

2

，整理得C：

x2

8

+

y2

4

=1．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由题意知l的斜率一定不为0，故不妨设l：x=my+2．
代入C的方程，并整理得（m²+2）y²+4my-4=0，显然△＞0．
由韦达定理有：y1+y2=-

4m

m2+2

，y1y2=-

4

m2+2

，①
假设存在点P，使

OP

=

OA

+

OB

成立，则其充要条件为：
点P的坐标为（x₁+x₂，y₁+y₂），点P在椭圆上，即

(x1+x2)2

8

+

(y1+y2)2

4

=1．
整理得

x

2 1

+2

y

2 1

+

x

2 2

+2

y

2 2

+2x1x2+4y1y2=8．
又A、B在椭圆上，即

x

2 1

+2

y

2 1

=8，

x

2 2

+2

y

2 2

=8．
故x₁x₂+2y₁y₂+4=0        ②
将x₁x₂=（my₁+2）（my₂+2）=m²y₁y₂+2m（y₁+y₂）+4及①代入②解得m²=2．
∴y1+y2=

2

或-

2

，x1+x2=-

4m2

m2+2

+4=2，即点P(2，±

2

)．     
所以，存在点P，使得

OP

=

OA

+

OB

，
这时直线l的方程为x-

2

y-2=0或x+

2

y-2=0．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、向量的运算、两点间的距离公式等基本知识与基本技能，考查了分类讨论的思想方法、推理能力与计算能力．．