Question

设点M（x，y）到直线x=4的距离与它到定点（1，0）的距离之比为2，并记点M的轨迹曲线为C．
（I）求曲线C的方程；
（II）设过定点（0，2）的直线l与曲线C交于不同的两点E，F，且∠EOF=90°（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的值；
（III）设A（2，0），B（0，

3

）是曲线C的两个顶点，直线y=mx（x＞0）与线段AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点，求四边形AEBF面积的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设曲线C上的任意一点P（x，y），则有

|x-4|

(x-1)2+y2

=2，由此能求出曲线C的方程．
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+2，与椭圆的交点E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），由

y=kx+2 3x2+4y2=12

，得（3+4k²）x²+16kx+4=0，再由根的判别式和l与椭圆交于不同的两点E，F且∠EOF=90°，得

OE

•

OF

=0，由此能够求出直线l的斜率k的值．
（Ⅲ）

y=mx(m＞0) 3x2+4y2=12

解方程组得E(

12 3+4m2

，m

12 3+4m2

)，F(-

12 3+4m2

，-m

12 3+4m2

)，S_{四边形AEBF}=2S_△BOE+2S_△FOA=|BO|•x₁+|AO|•y₁，由此能还应出S_{四边形AEBF}的最大面积．

解答：解：（Ⅰ）设曲线C上的任意一点P（x，y）
则有

|x-4|

(x-1)2+y2

=2化简得：

x2

4

+

y2

3

=1（4分）
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+2，与椭圆的交点E（x₁，y₁），F（x₂，y₂）

y=kx+2 3x2+4y2=12

?（3+4k²）x²+16kx+4=0△=（16k）²-16（3+4k²）＞0?k＜-

1

2

或k＞

1

2

x1+x2=-

16k

3+4k2

，x1x2=

4

3+4k2

（6分）
因为l与椭圆交于不同的两点E，F且∠EOF=90°得

OE

•

OF

=0，x₁x₂+y₁y₂=0x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）=0（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=0

4(1+k2)

3+4k2

-

32k2

3+4k2

+4=0
解得：k=±

2 3

3

（满足k＜-

1

2

或k＞

1

2

）（8分）
（Ⅲ）

y=mx(m＞0) 3x2+4y2=12

解方程组得

x1= 12 3+4m2 y1=m 12 3+4m2

；

x2=- 12 3+4m2 y2=-m 12 3+4m2

即E(

12 3+4m2

，m

12 3+4m2

)，F(-

12 3+4m2

，-m

12 3+4m2

)S_{四边形AEBF}=2S_△BOE+2S_△FOA=|BO|•x₁+|AO|•y₁（10分）=

3

12 3+4m2

+2m

12 3+4m2

=(

3

+2m)

12 3+4m2

=2

3(4m2+4 3 m+3) 4m2+3

=2

3(1+ 4 3 m 4m2+3

)=2

3(1+ 4 3 4m+ 3 m )

因为4m+

3

m

≥4

3

所以2

3(1+ 4 3 4m+ 3 m )

≤2

6

（当且仅当m=

3

2

时取等号）
即S_{四边形AEBF}的最大面积为2

6

（当m=

3

2

时取等号）（12分）

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．