Question

已知两直线l₁：x＋ysinθ－1＝0和l₂：2xsinθ＋y＋1＝0，试求θ的值，使得：(1)l₁∥l₂；(2)l₁⊥l₂.

Answer 1

解：(1)法一：当sinθ＝0时，l₁的斜率不存在，l₂的斜率为零，l₁显然不平行于l₂.

当sinθ≠0时，k₁＝－，k₂＝－2sinθ，

欲使l₁∥l₂，只要－＝－2sinθ，sinθ＝±，

∴θ＝kπ±，k∈Z，此时两直线截距不相等．

∴当θ＝kπ±，k∈Z时，l₁∥l₂.

法二：由A₁B₂－A₂B₁＝0，

即2sin²θ－1＝0，得sin²θ＝，

∴sinθ＝±，由B₁C₂－B₂C₁≠0，

即1＋sinθ≠0，即sinθ≠－1，

得θ＝kπ±，k∈Z，

∴当θ＝kπ±，k∈Z时，l₁∥l₂.

(2)∵A₁A₂＋B₁B₂＝0是l₁⊥l₂的充要条件，

∴2sinθ＋sinθ＝0，

即sinθ＝0，∴θ＝kπ(k∈Z)，

∴当θ＝kπ，k∈Z时，l₁⊥l₂.