Question

2．设n∈N^*，且sinα+cosα=-1．，求证：sinⁿα+cosⁿα=（-1）ⁿ．

Answer 1

分析 先将已知三角等式sinα+cosα=-1两边平方，利用同角三角函数基本关系式得sinαcosα=0，从而求得sinα与cosα的值，代入即可得所求值

解答 证明：∵sinα+cosα=-1，
∴（sinα+cosα）²=1，即1+2sinαcosα=1，
∴sinαcosα=0，
∴sinα=0，cosα=-1或sinα=-1，cosα=0，
∴sinⁿα+cosⁿα=0ⁿ+（-1）ⁿ=（-1）ⁿ．

点评 本题考查了同角三角函数基本关系式的应用，三角函数式的化简求值，属于中档题．