Question

17．已知椭圆$E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的右焦点为F（3，0），过点F且斜率为$\frac{1}{2}$的直线交椭圆于A，B两点．若AB的中点坐标为（1，-1），则E的方程为（　　）

• A． $\frac{x^2}{45}+\frac{y^2}{36}=1$
• B． $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{27}=1$
• C． $\frac{x^2}{27}+\frac{y^2}{18}=1$
• D． $\frac{x^2}{18}+\frac{y^2}{9}=1$

Answer 1

分析 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入椭圆的方程，两式相减，根据线段AB的中点坐标为（1，-1），求出斜率，进而可得a，b的关系，根据右焦点为F（3，0），求出a，b的值，即可得出椭圆的方程．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则代入椭圆方程，两式相减可得$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{a}^{2}}$+$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{{b}^{2}}$=0，
∵线段AB的中点坐标为（1，-1），
∴$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，
∵直线的斜率为$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∵右焦点为F（3，0），
∴a²-b²=9，
∴a²=18，b²=9，
∴椭圆方程为：$\frac{x^2}{18}+\frac{y^2}{9}=1$．
故选：D．

点评 本题考查椭圆的方程，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．