Question

16．已知函数f（x）=$2sin（2x+\frac{π}{6}）$
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上的值域，并求f（x）取得最大值时x的值．

Answer 1

分析 （1）利用函数y=Asin（ωx+φ）的周期为$\frac{2π}{ω}$，得出结论．
（2）利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上的值域，并求f（x）取得最大值时x的值．

解答 解（1）函数f（x））=$2sin（2x+\frac{π}{6}）$ 的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
（2）由-$\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{π}{2}$，知-$\frac{π}{3}$≤2x≤π，故$-\frac{π}{6}≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{7π}{6}$，∴$-\frac{1}{2}≤sin（2x+\frac{π}{6}）≤1$，故$-1≤2sin（2x+\frac{π}{6}）≤2$，
∴f（x）在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上的值域[-1，2]．
当 2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，即 x=$\frac{π}{6}$时，f（x）取得最大值为2．

点评 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的周期性，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．