Question

7．已知函数f（x）=xlnx+ax²-（2a+l）x+1，其中a＞0．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）对于任意的x∈[a，+∞），都有f（x）≥a³-a-$\frac{1}{8}$，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系即可求函数f（x）的单调区间；
（2）对于任意的x∈[a，+∞），都有f（x）≥a²-a-$\frac{1}{8}$，转化为f（x）_min≥a²-a-$\frac{1}{8}$，多次构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可求函数求实数a的取值范围．

解答 解：（1）函数的定义域为（0，+∞），
函数的导数f′（x）=lnx+1+2ax-2a-1=lnx+2a（x-1），
∵a＞0，
∴当0＜x＜1时，lnx＜0，2a（x-1）＜0，此时f′（x）＜0，函数f（x）在（0，1）上单调递减，
当x＞1时，lnx＞0，2a（x-1）＞0，此时f′（x）＞0，函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，
∴函数f（x）的单调递增区间是（1，+∞），递减区间是（0，1）；
（2）①当0＜a＜1时，由（1）知，f（x）在[a，1）上单调递减，f（x）在（1，+∞）上单调递增，
∴对任意的x∈[a，+∞），都有f（x）≥f（1）=-a，
∵对于任意的x∈[a，+∞），都有f（x）≥a³-a-$\frac{1}{8}$，
∴-a≥a³-a-$\frac{1}{8}$，即a³≤$\frac{1}{8}$，得a≤$\frac{1}{2}$，
∴当0＜a≤$\frac{1}{2}$时，对于任意的x∈[a，+∞），都有f（x）≥a³-a-$\frac{1}{8}$，
②求当a≥1时，[a，+∞）⊆[1，+∞），
由（1）得f（x）在[a，+∞）上单调递增，
∴对于任意的x∈[a，+∞），有f（x）≥f（a）=alna+a³-2a²-a+1，
∵对于任意的x∈[a，+∞），都有f（x）≥a³-a-$\frac{1}{8}$，
∴alna+a³-2a²-a+1≥a³-a-$\frac{1}{8}$，
即alna-2a²+$\frac{9}{8}$≥0
设g（a）=alna-2a²+$\frac{9}{8}$，a≥1，
则g′（a）=lna-4a+1，
设h（a）=lna-4a+1，a≥1，
则h′（a）=$\frac{1}{a}$-4＜0，
∴h（a）在[1，+∞）上单调递减，
则当a≥1时，g′（a）=h（a）≤h（1）=-3＜0，
则g（a）在[1，+∞）上单调递减，
∴当a≥1时，g（a）≤g（1）=-$\frac{7}{8}$＜0，
此时不等式alna-2a²+$\frac{9}{8}$≥0不成立，
综上①②，所求a的取值范围是（0，$\frac{1}{2}$]．

点评 本题主要考查导数的综合应用，求函数的导数，利用导数和函数的单调性，最值之间的关系是解决本题的关键．考查学生的运算能力，综合性较强，运算量较大．