Question

8．已知f（x）为定义在[-1，1]上的奇函数，当x∈[-1，0]时，函数解析式为$f（x）=\frac{1}{4^x}-\frac{1}{2^x}$．
（Ⅰ）求f（x）在[0，1]上的解析式；
（Ⅱ）求f（x）在[0，1]上的最值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设x∈[0，1]，则-x∈[-1，0]，利用条件结合奇函数的定义求f（x）在[0，1]上的解析式；
（Ⅱ）设t=2^x（t＞0），则y=-t²+t，利用二次函数的性质求f（x）在[0，1]上的最值．

解答 解：（Ⅰ）设x∈[0，1]，则-x∈[-1，0]．∴f（x）=$\frac{1}{{{4^{-x}}}}$-$\frac{1}{{{2^{-x}}}}$=4^x-2^x
又∵f（-x）=-f（x）=-（4^x-2^x）∴f（x）=2^x-4^x．
所以，f（x）在[0，1]上的解析式为f（x）=2^x-4^x（6分）
（Ⅱ）当x∈[0，1]，f（x）=2^x-4^x=-（2^x）²+2^x，
∴设t=2^x（t＞0），则y=-t²+t∵x∈[0，1]，∴t∈[1，2]
当t=1时x=0，f（x）_max=0；当t=2时x=1，f（x）_min=-2．

点评 本题考查函数解析式的求解，考查函数的最值，确定函数的解析式是关键．