Question

20．在平面上$\overrightarrow{A{B_1}}$⊥$\overrightarrow{A{B_2}}$，|$\overrightarrow{O{B_1}}$|=|$\overrightarrow{O{B_2}}$|=1，$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{A{B_1}}$+$\overrightarrow{A{B_2}}$，|$\overrightarrow{OP}$|＜$\frac{2}{3}$，则$|{\overrightarrow{OA}}|$的取值范围是（　　）

• A． $（0，\frac{{\sqrt{14}}}{3}]$
• B． $（\frac{{\sqrt{14}}}{3}，\sqrt{2}]$
• C． $（\frac{{\sqrt{5}}}{2}，\sqrt{5}]$
• D． $（\frac{{\sqrt{7}}}{2}，\sqrt{7}]$

Answer 1

分析 由已知作出图形，设出点O（x，y），|AB₁|=a，|AB₂|=b，则点P（a，b），结合$|{\overrightarrow{O{B_1}}}|=|{\overrightarrow{O{B_2}}}|=1$求出x²+y²的范围得答案．

解答 解：根据条件知A，B₁，P，B₂构成一个矩形AB₁PB₂，
以AB₁，AB₂所在直线为坐标轴建立直角坐标系，设点O（x，y），|AB₁|=a，|AB₂|=b，则点P（a，b），
由$|{\overrightarrow{O{B_1}}}|=|{\overrightarrow{O{B_2}}}|=1$，得$\left\{{\begin{array}{l}{{{（x-a）}^2}+{y^2}=1}\\{{x^2}+{{（y-b）}^2}=1}\end{array}}\right.$，则$\left\{{\begin{array}{l}{{{（x-a）}^2}=1-{y^2}}\\{{{（y-b）}^2}=1-{x^2}}\end{array}}\right.$，
∵$\overrightarrow{|{OP}|}＜\frac{2}{3}$，∴${（x-a）^2}+{（y-b）^2}＜\frac{4}{9}$，
∴$1-{x^2}+1-{y^2}＜\frac{4}{9}$，得${x^2}+{y^2}＞\frac{14}{9}$，
∵（x-a）²+y²=1，∴y²=1-（x-a）²≤1．
同理x²≤1，∴x²+y²≤2．
综上可知，$\frac{14}{9}＜{x^2}+{y^2}≤2$，则$|{\overrightarrow{OA}}|=\sqrt{{x^2}+{y^2}}∈（\frac{{\sqrt{14}}}{3}，\sqrt{2}]$．
故选：B．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了数形结合的解题思想方法，由题意抽象出图形是关键，是中档题．