题目内容

在△ABC中，角A，B，C所对的边a，b，c满足b2=ac
（1）求证：0＜B≤
π
3

（2）求y=
1+sin2B
sinB+cosB
的取值范围．
考点：余弦定理
专题：解三角形
分析：（1）由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB，利用基本不等式的性质可得ac≥2ac-2accosB，化简整理再利用三角函数的单调性即可得出；
（2）y=
(sinB+cosB)2
sinB+cosB
=
2
sin(B+
π
4
)，利用0＜B≤
π
3
，可得(B+
π
4
)∈(
π
4
，
7
12
π]，sin(B+
7π
12
)∈(
2
2
，1]．即可得出．
解答： （1）证明：由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB，
∴ac≥2ac-2accosB，
化为cosB≥
1
2
，
∵B∈（0，π），
∴0＜B≤
π
3
．
（2）y=
1+sin2B
sinB+cosB
=
(sinB+cosB)2
sinB+cosB
=sinB+cosB=
2
sin(B+
π
4
)，
∵0＜B≤
π
3
，∴(B+
π
4
)∈(
π
4
，
7
12
π]，
∴sin(B+
7π
12
)∈(
2
2
，1]．
∴y∈(1，
2
]．
点评：本题考查了余弦定理、基本不等式的性质、三角函数的单调性、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=4cosxsin（x+
π
3
）-
3
．
（I）求f（x）在区间[2015π，2016π]上的取值范围；
（Ⅱ）若f（α）=
1
2
，求sin（4α+
7π
6
）的值．
已知向量
a
=（2，3），
b
=（x，6），若
a
∥
b
，则x=
 
．
f（x）=2x2-x4 画函数大致图象．
化简：sin（α+β）cos（γ-β）-cos（β+α）sin（β-γ）
函数f（x）=a-bsin（3x+
π
6
）（b＞0）的最大值为
3
2
，最小值为-
1
2
，求a及b．
比较大小：
（1）30.8
 
30.7；
（2）0.75-0.1
 
0.75-0.4；
（3）0.6-0.7
 
1；
（4）log0.56
 
log0.54；
（5）log1.51.6
 
log1.51.4；
（6）log0.22.34
 
0．
（7）若2m＜2n，则m
 
n；
（8）若log0.3m＜log0.3n，则m
 
n．
实数x、y满足x2+2xy+y2+x2y2=1，则x-y的最大值为（　　）
A、4
B、2
2
C、2
D、
2
复数z=1+
1
i
的虚部为（　　）
A、1B、iC、-1D、-i

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