题目内容

设P是椭圆上异于长轴端点的任意一点，F1、F2分别是其左、右焦点，O为椭圆中心，则为(    )

A．25       B．16             C．9                     D．7

A 

解析：本题考查了椭圆的定义、几何性质与焦半径公比等知识.设椭圆上点P（x0,y0）,由焦半径公式得|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0,|OP|=,所以|PF1|·|PF2|+|OP|2=(a+ex0)(a-ex0)+x02+y02=a2-e2x02+x02+y02.由题意得a2=16,e2=,y02=9-,代入上式可得|PF1|·|PF2|+|OP|2=25.

练习册系列答案
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（2013•深圳一模）已知椭圆C 的中心为原点O，焦点在x 轴上，离心率为
3
2
，且点(1，
3
2
)在该椭圆上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）如图，椭圆C 的长轴为AB，设 P 是椭圆上异于 A、B 的任意一点，PH⊥x轴，H为垂足，点Q 满足
PQ
=
HP
，直线AQ与过点B 且垂直于x 轴的直线交于点M，
BM
=4
BN
．求证：∠OQN为锐角．
（1）若椭圆的方程是：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），它的左、右焦点依次为F1、F2，P是椭圆上异于长轴端点的任意一点．在此条件下我们可以提出这样一个问题：“设△PF1F2的过P角的外角平分线为l，自焦点F2引l的垂线，垂足为Q，试求Q点的轨迹方程？”
对该问题某同学给出了一个正确的求解，但部分解答过程因作业本受潮模糊了，我们在
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这些模糊地方划了线，请你将它补充完整．
解：延长F2Q 交F1P的延长线于E，据题意，
E与F2关于l对称，所以|PE|=|PF2|．
所以|EF1|=|PF1|+|PE|=|PF1|+|PF2|=
 
，
在△EF1F2中，显然OQ是平行于EF1的中位线，
所以|OQ|=
1
2
|EF1|=
 
，
注意到P是椭圆上异于长轴端点的点，所以Q点的轨迹是
 
，
其方程是：
 
．
（2）如图2，双曲线的方程是：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a，b＞0），它的左、右焦点依次为F1、F2，P是双曲线上异于实轴端点的任意一点．请你试着提出与（1）类似的问题，并加以证明．
（2013•汕头一模）如图．已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的长轴为AB，过点B的直线l与x轴垂直，椭圆的离心率e=
3
2
，F1为椭圆的左焦点且
AF1
•
F1B
=1．
（I）求椭圆的标准方程；
（II）设P是椭圆上异于A、B的任意一点，PH⊥x轴，H为垂足，延长HP到点Q使得HP=PQ．连接AQ并延长交直线l于点M，N为MB的中点，判定直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系．
设P是椭圆上异于长轴端点的任意一点，F1、F2分别是其左、右焦点，O为中心，则 ___________.

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