Question

15．在△ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，且a=5，b²+c²-$\sqrt{2}$bc=25．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）设cosB=$\frac{3}{5}$，求边c的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可求b²+c²-a²=$\sqrt{2}$bc，利用余弦定理可求cosA，结合A的范围即可得解．
（Ⅱ）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinB，进而由两角和的正弦函数公式可求sinC的值，利用
正弦定理即可求c的值．

解答 解：（Ⅰ）∵a=5由 ${b^2}+{c^2}-\sqrt{2}bc=25$，得：b²+c²-a²=$\sqrt{2}$bc，…（3分）
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又∵A∈（0，180°），
∴A=45°．（6分）
（Ⅱ）由$cosB=\frac{3}{5}＞0$，知B为锐角，
∴$sinB=\frac{4}{5}$，
∴$sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=\frac{{\sqrt{2}}}{2}×\frac{3}{5}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}×\frac{4}{5}=\frac{{7\sqrt{2}}}{10}$，…（9分）
∴由正弦定理得：$c=\frac{asinC}{sinA}=7$．…（12分）

点评 本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．