Question

某小区规划一块周长为2a（a为正常数）的矩形停车场，其中如图所示的直角三角形ADP内为绿化区域．且∠PAC=∠CAB．设矩形的长AB=x，AB＞AD
（1）求线段DP的长关于x的函数l（x）表达式并指出定义域；
（2）应如何规划矩形的长AB，使得绿化面积最大？

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中矩形停车场的周长为2a（a为正常数），直角三角形ADP内为绿化区域．且∠PAC=∠CAB．我们易得，进而根据矩形的长AB=x，AB＞AD，可求出线段DP的长关于x的函数l（x）表达式并指出定义域；
（2）由（1）中函数的解析式，我们易求出绿化区域即直角三角形ADP面积的表达式，进而利用基本不等式，我们可求出直角三角形ADP面积取最大值时，对应的AB的长，即可得到答案．
解答：解：（1）AD=BC=a-x，由AB＞AD，得
设∠BAC=∠CAP=α，，因为∠APD=2α，，
得，
所以   ，定义域为-----------------------------（7分）
（2）---------------------------------（9分）
因为，仅当时取等号．又∈
所以，此时AB=-------------------------------（13分）
答：当矩形的长为时，绿化面积最大．----------------------------------------（14分）
点评：本题考查的知识点是函数模型的选择与应用，基本不等式，其中（1）中根据已知条件判断出，是解答的关键，而（2）中关键是求出绿化面积的表达式，为基本不等式的使用创造条件．