Question

某居民小区内建有一块矩形草坪ABCD，AB=50米，BC=25

3

米，为了便于居民平时休闲散步，该小区物业管理公司将在这块草坪内铺设三条小路OE、EF和OF，考虑到小区整体规划，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EOF=90°，如图所示．
（1）设∠BOE=α，试将△OEF的周长l表示成α的函数关系式，并求出此函数的定义域；
（2）经核算，三条路每米铺设费用均为400元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用．

Answer 1

分析：（1）要将△OEF的周长l表示成α的函数关系式，需把△OEF的三边分别用含有α的关系式来表示，而OE，
OF，分别可以在Rt△OBE，Rt△OAF中求解，利用勾股定理可求EF，从而可求．
（2）要求铺路总费用最低，只要求△OEF的周长l的最小值即可．由（1）得，l=

25(sinα+cosα+1)

cosαsinα

，α∈[

π

6

，

π

3

]
利用换元，设sinα+cosα=t，则sinα•cosα=

t2-1

2

，从而转化为求函数在闭区间上的最小值．

解答：解：（1）∵在Rt△BOE中，OB=25，∠B=90°，∠BOE=α，
∴OE=

25

cosα

在Rt△AOF中，OA=25，∠A=90°，∠AFO=α，
∴OF=

25

sinα

．
又∠EOF=90°，
∴EF═

OE2+OF2

=

( 25 cosα )2+( 25 sinα )2

=

25

cosαsinα

，
∴l=OE+OF+EF=

25

cosα

+

25

sinα

+

25

cosαsinα

即l=

25(sinα+cosα+1)

cosαsinα

．
当点F在点D时，这时角α最小，求得此时α=

π

6

；
当点E在C点时，这时角α最大，求得此时α=

π

3

．
故此函数的定义域为[

π

6

，

π

3

]
（2）由题意知，要求铺路总费用最低，只要求△OEF的周长l的最小值即可．
由（1）得，l=

25(sinα+cosα+1)

cosαsinα

，α∈[

π

6

，

π

3

]
设sinα+cosα=t，则sinα•cosα=

t2-1

2

，
∴l=

25(sinα+cosα+1)

cosαsinα

=

25(t+1)

t2-1 2

=

50

t-1

由t=sinα+cosα=

2

sin(α+

π

4

)，又

5π

12

≤α+

π

4

≤

7π

12

，得

3 +1

2

≤t≤

2

，
∴

3 -1

2

≤t-1≤

2

-1，
从而

2

+1≤

1

t-1

≤

3

+1，当α=

π

4

，即BE=25时，lmin=50(

2

+1)，
所以当BE=AF=25米时，铺路总费用最低，最低总费用为20000(

2

+1)元．

点评：本题主要考查了借助于三角函数解三角形在实际问题中的应用，考查了利用数学知识解决实际问题的能力，及推理运算的能力．