Question

某小区规划一块周长为2a（a为正常数）的矩形停车场，其中如图所示的直角三角形ADP内为绿化区域．且∠PAC=∠CAB．设矩形的长AB=x，AB＞AD
（1）求线段DP的长关于x的函数l（x）表达式并指出定义域；
（2）应如何规划矩形的长AB，使得绿化面积最大？

Answer 1

分析：（1）由已知中矩形停车场的周长为2a（a为正常数），直角三角形ADP内为绿化区域．且∠PAC=∠CAB．我们易得tan2α=tan∠APD=

AD

DP

，进而根据矩形的长AB=x，AB＞AD，可求出线段DP的长关于x的函数l（x）表达式并指出定义域；
（2）由（1）中函数的解析式，我们易求出绿化区域即直角三角形ADP面积的表达式，进而利用基本不等式，我们可求出直角三角形ADP面积取最大值时，对应的AB的长，即可得到答案．

解答：解：（1）AD=BC=a-x，由AB＞AD，得

a

2

＜x＜a(a＞0)
设∠BAC=∠CAP=α，tanα=

a-x

x

，因为∠APD=2α，tan2α=

AD

DP

=

a-x

DP

，
得DP=

2ax-a2

2x

，
所以   l(x)=

2ax-a2

2x

，定义域为(

a

2

，a)-----------------------------（7分）
（2）S△ADP=

1

2

AD•DP=

a

4

(3a-

a2

x

-2x)---------------------------------（9分）
因为

a2

x

+2x≥2a

2

，仅当x=

2

2

a时取等号．又

2

2

a∈(

a

2

，a)
所以(S△ADP)max=

a2

4

(3-2

2

)，此时AB=

2

2

a-------------------------------（13分）
答：当矩形的长为

2

2

a时，绿化面积最大．----------------------------------------（14分）

点评：本题考查的知识点是函数模型的选择与应用，基本不等式，其中（1）中根据已知条件判断出tan2α=tan∠APD=

AD

DP

，是解答的关键，而（2）中关键是求出绿化面积S△ADP=

1

2

AD•DP=

a

4

(3a-

a2

x

-2x)的表达式，为基本不等式的使用创造条件．