题目内容
定义平面向量之间的一种运算“*”如下：对任意的
，令
．给出以下四个命题：（1）若
与
共线，则
；（2）
；（3）对任意的λ∈R，有
；（4）
=
．（注：这里
指与的数量积）其中所有真命题的序号是________．
解：（1）设 =（x，y），∵若与共线，则 =（λx，λy ），*=x•λy-y•λx=0，故（1）正确；
（2），而
=np-mq，故（2）不正确；
（3）对任意的λ∈R，有
*=（λm，λn ）*（p，q）=λmq-λnp，
λ（*）=λ （mq-np）=λmq-λnp，∴*=λ（ *） 成立，故（3）正确；
（4）
+
=（mq-np）2+（mp+nq）2=m2q2+n2p2+m2p2+n2q2，
=（m2+n2）（p2+q2）=m2q2+n2p2+m2p2+n2q2，故（4）正确．
综上，（1），（3），（4）正确，
故答案为：（1），（3），（4）．
分析：依据题中的定义运算“*”，逐一检验各个选项中的等式两边是否相等，从而得出结论．
点评：本题考查两个向量的数量积的运算，共线向量的性质，属于创新题．
=（x，y），∵若与共线，则 =（λx，λy ），*=x•λy-y•λx=0，故（1）正确；（2）
，而=np-mq，故（2）不正确；（3）对任意的λ∈R，有
*=（λm，λn ）*（p，q）=λmq-λnp，λ（
*）=λ （mq-np）=λmq-λnp，∴*=λ（ *） 成立，故（3）正确；（4）
+=（mq-np）2+（mp+nq）2=m2q2+n2p2+m2p2+n2q2，=（m2+n2）（p2+q2）=m2q2+n2p2+m2p2+n2q2，故（4）正确．综上，（1），（3），（4）正确，
故答案为：（1），（3），（4）．
分析：依据题中的定义运算“*”，逐一检验各个选项中的等式两边是否相等，从而得出结论．
点评：本题考查两个向量的数量积的运算，共线向量的性质，属于创新题．
练习册系列答案
相关题目
定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的
=(m，n)，
=(p，q)，令
⊙
=mq-np，下面说法错误的是（ ）
| a |
| b |
| a |
| b |
A、若
| ||||||||||||
B、
| ||||||||||||
C、对任意的λ∈R，有(λ
| ||||||||||||
D、（
|
定义平面向量之间的一种运算“*”如下：对任意的
=(m，n)，
=(p，q)，令
*
=mq-np．给出以下四个命题：（1）若
与
共线，则
*
=0；（2）
*
=
*
；（3）对任意的λ∈R，有(λ
)*
=λ(
*
)（4）(
*
)2+(
•
)2=|
|2•|
|2．（注：这里
•
指
与
的数量积）则其中所有真命题的序号是（ ）
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| b |
| a |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| A、（1）（2）（3） |
| B、（2）（3）（4） |
| C、（1）（3）（4） |
| D、（1）（2）（4） |