Question

13．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，公差d＞0，且a₂a₃=40，a₁+a₄=13，公比为q（0＜q＜1）的等比数列{b_n}中，b₁、b₃、b₅∈{$\frac{1}{60}$，$\frac{1}{32}$，$\frac{1}{20}$，$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{2}$}．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式a_n、b_n；
（2）若数列{c_n}满足c_2n-1=a_n，c_2n=b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由a₂a₃=40，a₁+a₄=13，d＞0．利用等差数列的通项公式可得$\left\{\begin{array}{l}{（{a}_{1}+d）（{a}_{1}+2d）=40}\\{2{a}_{1}+3d=13}\end{array}\right.$，解出即可．公比为q（0＜q＜1）的等比数列{b_n}中，b₁，b₃，b₅∈{$\frac{1}{60}$，$\frac{1}{32}$，$\frac{1}{20}$，$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{2}$}．可得b₁=$\frac{1}{2}$，b₃=$\frac{1}{8}$，b₅=$\frac{1}{32}$．利用等比数列的通项公式解出即可．
（2）由c_2n-1=a_n=3n-1，c_2n=b_n=$（\frac{1}{2}）^{n}$．对n分类讨论，利用等差数列与等比数列的前n项公式即可得出．

解答 解：（1）由a₂a₃=40，a₁+a₄=13，d＞0．
可得$\left\{\begin{array}{l}{（{a}_{1}+d）（{a}_{1}+2d）=40}\\{2{a}_{1}+3d=13}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=2}\\{d=3}\end{array}\right.$，
∴a_n=2+3（n-1）=3n-1．
∵公比为q（0＜q＜1）的等比数列{b_n}中，b₁，b₃，b₅∈{$\frac{1}{60}$，$\frac{1}{32}$，$\frac{1}{20}$，$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{2}$}．
∴b₁=$\frac{1}{2}$，b₃=$\frac{1}{8}$，b₅=$\frac{1}{32}$．
∴$\frac{1}{2}{q}^{2}$=$\frac{1}{8}$，解得q=$\frac{1}{2}$．
∴b_n=$\frac{1}{2}×（\frac{1}{2}）^{n-1}$=$（\frac{1}{2}）^{n}$．
（2）∵c_2n-1=a_n=3n-1，c_2n=b_n=$（\frac{1}{2}）^{n}$．
∴当n=2k（k∈N^*）时，数列{c_n}的前n项和T_n=（c₁+c₃+…+c_2k-1）+（c₂+c₄+…+c_2k）
=[2+5+…+（3k-1）]+$[\frac{1}{2}+（\frac{1}{2}）^{2}+…+（\frac{1}{2}）^{k}]$
=$\frac{k（2+3k-1）}{2}$+$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{k}}）}{1-\frac{1}{2}}$
=$\frac{n（3n+2）}{8}$+1-$（\frac{1}{2}）^{\frac{n}{2}}$．

当n=2k-1时，数列{c_n}的前n项和T_n=T_n-1+c_2k-1
=$\frac{（n-1）（3n-1）}{8}$+1-$（\frac{1}{2}）^{n-1}$+3k-1
=$\frac{（n-1）（3n-1）}{8}$-$（\frac{1}{2}）^{n-1}$+$\frac{3（n+1）}{2}$．
综上可得：T_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n（3n+2）}{8}+1-（\frac{1}{2}）^{\frac{n}{2}}，n为偶数}\\{\frac{（n-1）（3n-1）}{8}-（\frac{1}{2}）^{n-1}+\frac{3（n+1）}{2}，n为奇数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．