Question

8．定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足条件：f（xy）=f（x）f（y）对所有正实数x，y成立，且f（2）=4，当x＞1时有f（x）＞1成立．
（Ⅰ）求f（1）和f（8）的值；
（Ⅱ）证明：函数f（x）在（0，+∞）上为单调递增函数；
（Ⅲ）解关于x的不等式：16f（$\frac{1}{2x+1}$）≥f（x-3）

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用赋值法，代入计算求f（1）和f（8）的值；
（Ⅱ）利用单调性的定义证明函数f（x）在（0，+∞）上为单调递增函数；
（Ⅲ）利用单调性，将不等式化为具体不等式，即可得出结论．

解答 （Ⅰ）解：∵f（xy）=f（x）f（y），∴f（1×2）=f（1）f（2），
∵f（2）=4，∴f（1）=1，
f（4）=f（2）f（2）=16，f（8）=f（2）f（4）=64；
（Ⅱ）证明：设x₁＞x₂＞0，则$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＞1，
∵当x＞1时有f（x）＞1成立，
∴f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）＞1，
∴f（x₁）=f（x₂•$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）=f（x₂）f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）＞f（x₂）
∴函数f（x）在（0，+∞）上为单调递增函数；
（Ⅲ）解：16f（$\frac{1}{2x+1}$）≥f（x-3）可化为f（4×$\frac{1}{2x+1}$）≥f（x-3），
∵函数f（x）在（0，+∞）上为单调递增函数，
∴4×$\frac{1}{2x+1}$≥x-3＞0，
∴-1≤x≤$\frac{7}{2}$，
∴不等式的解集为{x|-1≤x≤$\frac{7}{2}$}．

点评 本题考查了抽象函数的应用，考查函数的单调性，考查了数学转化思想方法，是中高档题．