题目内容

正项数列{a_n}满足a₁=2，点A_n（ $数学公式$ ）在双曲线y²-x²=1上，点（b_n，T_n）在直线y=- $数学公式$ x+1上，其中Tn是数列{bn}的前n项和．
①求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
②设C_n=a_nb_n，证明C_n+1＜C_n
③若m-7a_nb_n＞0恒成立，求正整数m的最小值．

解：①由已知点A_n在y²-x²=1上知，a_n+1-a_n=1，
∴数列{a_n}是一个以2为首项，以1为公差的等差数列．
∴a_n=n+1
∵点（b_n，T_n）在直线y=- $\text{[math]}$ x+1上
∴T_n=- $\text{[math]}$ b_n+1①
∴T_n-1=- $\text{[math]}$ b_n-1+1②
①②两式相减得b_n=- $\text{[math]}$ b_n+ $\text{[math]}$ b_n-1
∴ $\text{[math]}$
令n=1得 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
② $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ＜0，
∴c_n+1＜c_n
③∵{c_n}递减而m＞7c_n恒成立
∴m＞7c₁= $\text{[math]}$ 而m∈N^*
∴m的最小值为10．
分析：①由题意知a_n=n+1，T_n=- $\text{[math]}$ b_n+1，T_n-1=- $\text{[math]}$ b_n-1+1，所以 $\text{[math]}$ ，由此可知 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．
②由题意知 $\text{[math]}$ ，由此可知 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ＜0，所以c_n+1＜c_n．
③由{c_n}递减而m＞7c_n恒成立，知m＞7c₁= $\text{[math]}$ 而m∈N^*，由此可知m的最小值为10．
点评：本题考查数列的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答．