Question

（本小题满分14分）
已知函数的图像在点P(0,f(0))处的切线方程为.
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）设是上的增函数.
（ⅰ）求实数m的最大值；
（ⅱ）当m取最大值时，是否存在点Q，使得过点Q的直线能与曲线围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.

Answer 1

（I）（II）（ⅰ）的最大值为3（ⅱ）存在点，使得过点的直线若能与函数的图像围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等。

本小题主要考察函数、导数等基础知识，考察推力论证能力、抽象概况能力、运算求解能力，考察函数与方程思想、数形结合思想、化归与转换思想、分类与整合思想。满分14分。
解法一：
（Ⅰ）由及题设得即。
（Ⅱ）（ⅰ）由
得。
是上的增函数，在上恒成立，
即在上恒成立。
设。
，
即不等式在上恒成立
当时，不等式在上恒成立。
当时，设，
因为，所以函数在上单调递增，
因此。
，即。
又，故。
综上，的最大值为3。
（ⅱ）由（ⅰ）得，其图像关于点成中心对称。
证明如下：



因此，。
上式表明，若点为函数在图像上的任意一点，则点也一定在函数的图像上。而线段中点恒为点，由此即知函数的图像关于点成中心对称。
这也就表明，存在点，使得过点的直线若能与函数的图像围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等。
解法二：
（Ⅰ）同解法一。
（Ⅱ）（ⅰ）由
得。
是上的增函数，在上恒成立，
即在上恒成立。
设。
，
即不等式在上恒成立。
所以在上恒成立。
令，，可得，故，即的最大值为3.
（ⅱ）由（ⅰ）得，
将函数的图像向左平移1个长度单位，再向下平移个长度单位，所得图像相应的函数解析式为，。
由于，所以为奇函数，故的图像关于坐标原点成中心对称。
由此即得，函数的图像关于点成中心对称。
这也表明，存在点，是得过点的直线若能与函数的图像围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等。